Soit f une fonction réelle ou complexe définie dans un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction réelle ou complexe définie dans I telle que F’=f

Intégrale

Soient (x₀, x1, x2,…., x_n) une subdivision de [a,b] telle que la fonction f ait une valeur constante ci dans chaque intervalle ]x_i,x_i+1[, on appelle intégrale de f le nombre réel :

c₀(x₁-x₀)+c₁(x₂-x₁)+…..+c_n(x_n-x_n-1)

Ce nombre se note :

1.1.2 Propriétés

Intégrales équivalentes :

Multiplication par une constante :

Intégrale d’une somme :

Valeur absolue d’une intégrale :

Intervalles contigus :

Opposée de l’intégrale :

Valeur moyenne :

1.1.3 Méthodes d’intégration

En notant et les dérivées simples et doubles par rapport au temps t.

Intégration par parties :

Changement de variable : avec et

1.2 Les différentielles

Forme différentielle :

Différentielle exacte :

Si A₁, A₂ et A₃ sont les dérivées d’une même fonction A telles que :

, et alors c’est une différentielle exacte :

La distinction entre différentielle et forme différentielle est importante car on ne peut calculer la valeur de W entre deux points x₁ et x₂ qu’avec une différentielle :

Dans le cas d’une forme différentielle, ce calcul n’est pas directement possible, W dépend du chemin suivi entre les deux points x₁ et x_2.

1.3 Equations différentielles

1.3.1 Solutions types

de solution

de solutions

en posant de solutions

1.3.2 Méthode de résolution

Dans le cas d’une équation différentielle inhomogène (avec un second membre) on procède en deux temps :

● On prend une solution du type du second membre avec des constantes à déterminer et on remplace dans l’équation différentielle inhomogène pour obtenir la valeur des constantes.

● On cherche la solution de l’équation homogène.

Puis on additionne les deux solutions.

Exemple : Soit à résoudre où C est une constante

● soit en remplaçant et donc

● de solution

d’où la solution générale :

1.4 Coordonnées

1.4.1 Coordonnées cartésiennes

Coordonnées :

x : abscisse

y : ordonnée

z : côte

Représentation :

Vecteur position :

Déplacement élémentaire :

Volume élémentaire :

1.4.2 Coordonnées cylindriques

Coordonnées :

r : rayon polaire

j : angle polaire

z : côte

Représentation :

Vecteur position :

Déplacement élémentaire :

Volume élémentaire :

Relation avec les coordonnées cartésiennes :

On remarquera que la dérivation par rapport à correspond à une rotation de :

1.4.3 Coordonnées sphériques

Coordonnées :

r : rayon vecteur

q : colatitude

j : azimuth

Représentation :

Vecteur position :

Déplacement élémentaire :

Volume élémentaire :

Relation avec les coordonnées cartésiennes :

1.4.4 Application aux calculs de surfaces et de volumes

1.4.4.1 Formulaire

4.4.1.1 Coefficients

	d₁	d₂	d₃
Coordonnées cartésiennes	dx	dy	dz
Coordonnées cylindriques	dr	dj	dz
Coordonnées sphériques	dr	dq	dj


Coordonnées cartésiennes
Coordonnées cylindriques
Coordonnées sphériques

	c₁	c₂	c₃
Coordonnées cartésiennes	1	1	1
Coordonnées cylindriques	1	r	1
Coordonnées sphériques	1	r	r.sinq

Déplacement élémentaire

4.4.1.2 Calcul de surfaces

	dS₁	dS₂	dS₃
Cartésienne	dy.dz	dx.dz	dx.dy
Cylindrique	dz.rdj	dr.dz	dr.rdj
Sphérique	r.dq.r.sinq.dj	dr.r.sinq.dj	r.dq.dr
général	c₂.d₂.c₃.d₃	c₁.d₁.c₃.d₃	c₁.d₁.c₂.d₂

4.4.1.3 Calcul de volumes

Comme pour le calcul de surface il est nécessaire pour ce calcul d’exprimer l’élément de volume qui permet de trouver les bornes d’intégration les plus simples.

1.4.4.2 Exemples de calculs de surfaces

4.4.2.1 Surface d’un cercle

Les repères cylindrique ou sphérique peuvent être utilisés dans ce cas.

Si l’on choisi la notation cylindrique on a une surface dans le plan ,

et donc un élément de surface

avec r variant de 0 à R et j de 0 à 2p :

1.4.4.2.2 Surface d’une sphère

Le repère sphérique doit être utilisé dans ce cas.

Le rayon de la sphère est constant et égal à R.

Chaque élément de surface est dans le plan défini par et vaut :

Il est important de noter que la surface complète de la sphère correspond à:

q variant de 0 à p

et j variant de 0 à 2p

1.4.4.3 Exemples de calculs de volumes

1.4.4.3.1 Volume d’un cylindre

Le repère cylindrique s’impose naturellement.

Pour un cylindre de rayon R et de hauteur h on a un élément de volume

Et un volume

1.4.4.3.2 Volume d’une sphère

Le repère sphérique s’impose naturellement.

Le rayon de la sphère est constant et égal à R.

L’élément de volume est

Et un volume

1.4.4.3.3 Volume d’un cône

Le repère cylindrique s’impose.

Pour un cône régulier de rayon R au sommet et de hauteur h.

On exprime l’élément de volume par comme étant une superposition de disques de hauteur infinitésimale dz.

En remarquant que r est fonction de z, on l’exprime grâce à la relation de Thales et ainsi

Et un volume

1.4.5 Application aux calculs de centre d’inertie

1.4.5.1 Définition du centre d’inertie

Le centre d’inertie C (ou centre de masse) est le barycentre des points du système pondéré par leur masse.

Il est nécessaire de le connaître pour localiser le point d’application du poids d’un corps et pour les mouvements de translation.

Si la distribution de masse est discrète on le calcule par avec M la masse totale du système.

Si la distribution de masse est continue on le calcule par avec ρ la masse volumique.

On peut aussi écrire et donc

1.4.5.2 Propriétés du centre d’inertie

Associativité : Deux systèmes de centres et de masses respectifs C₁,C₂,m₁,m₂ ont pour centre de masse :

Symétrie matérielle : Si un système possède un élément de symétrie matérielle qui vérifie pour tout point A :

Alors l’élément de symétrie contient le centre de masse.

1.4.5.3 Calculs de centres d’inertie

1.4.5.3.1 Centre d’inertie d’un cône plein régulier

Le cône est homogène de rayon R au sommet et de hauteur h

Le volume du cône est (cf 1.4.4.3.3) et donc sa masse

La symétrie matérielle indique que le centre d’inertie appartient à l’axe Oz. Il suffit donc de calculer la coordonnée z_c du centre d’inertie selon : avec (cf 1.4.4.3.3)

On obtient :

1.4.5.3.2 Centre d’inertie d’une demi sphère pleine

Le volume d’un demi sphère est (cf 1.4.4.3.2) et donc sa masse

La symétrie matérielle indique que le centre d’inertie appartient à l’axe Oz. Il suffit donc de calculer la coordonnée z_c du centre d’inertie selon :

avec (cf 1.4.4.3.2) et

1.4.5.3.3 Centre d’inertie d’une demi sphère creuse

La symétrie matérielle indique que le centre d’inertie appartient à l’axe Oz. Il suffit donc de calculer la coordonnée z_c

Pour la demi sphère creuse le rayon est constant et égal à R, on peut faire le calcul sur des éléments de surface, et définir une densité massique de surface ρ_S :

avec

L’élément de surface est alors et on a :

1.4.5.3.4 Centre d’inertie d’un disque percé

Un disque de rayon R₁ est percé à l’abscisse x d’un trou circulaire de rayon R₂

L’axe Ox est axe de symétrie on calcule donc uniquement l’abscisse du centre de masse.

La masse du disque non percé vaut :

La masse évidée vaut :

La masse du disque percé vaut :

L’abscisse se calcule en utilisant la propriété d’associativité rappelée en 1.4.5.2

On notera que l’abscisse du cercle non percé est nulle et que la masse évidée est considérée comme négative dans le calcul.

1.4.5.3.5 Centre d’inertie d’un solide simple

Un solide est composé de deux parallélépipèdes rectangles de cotés a, 3a et e pour le premier et a, 2a et e pour le second.

Les coordonnées respectives des deux centres d’inertie des deux solides sont :

Les masses respectives :

et et la masse totale

d’où les coordonnées du centre d’inertie :

1.5 Les Vecteurs

Vecteur libre : Vecteur défini uniquement par sa direction son sens et sa valeur, son point d’application pouvant être quelconque dans l’espace.

Vecteur glissant : Vecteur défini uniquement par sa droite d’action son sens et sa valeur, son point d’application pouvant être quelconque sur la droite d’action.

Vecteur lié : Vecteur défini par sa droite d’action son sens, sa valeur et son point d’application.

Moment en un point d’un vecteur lié : Le moment en O d’un vecteur de point d’application A vaut :

Torseur : C’est l’ensemble constitué du moment et de son vecteur.

Moment par rapport à un axe d’un vecteur lié : Le moment par rapport à l’axe Δ passant par O de vecteur unitaire d’un vecteur de point d’application A vaut :

Somme géométrique de vecteurs : La somme géométrique de vecteurs libres, glissant ou lié est un vecteur libre.

Résultante de vecteurs : C’est un cas particulier de somme géométrique de vecteurs glissant ou lié. Elle n’existe que si les vecteurs sont concourants au même point ou parallèles et de même sens. Si les vecteurs sont liés, la résultante est un vecteur lié, ainsi par exemple la résultante des vecteurs poids élémentaires est une vecteur poids dont le point d’application est le centre de gravité du solide considéré.

Produit scalaire : C’est le nombre réel qui est une grandeur intrinsèque (indépendante de la base de calcul). Soient les vecteurs et on a

Produit vectoriel : C’est un vecteur libre dont le sens est tel qu’il forme un trièdre positif, dont la direction est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs, et de norme.

Le sens du vecteur dépend de l’orientation de l’espace choisi et défini par la règle de la main droite.

On a aussi avec et :

1.6 Les opérateurs

Ils permettent d’exprimer localement des relations intégrales.

1.6.1 Le gradient

Cet opérateur vectoriel agit sur un scalaire. Il est le vecteur normal à la surface de niveau (surface où V est constant) dirigé dans le sens des V croissants.

En utilisant les notations vues en A.4.4.1 :

Soit par exemple en coordonnées sphériques :

1.6.2 La divergence

Cet opérateur scalaire agit sur un vecteur. Cette valeur correspond au flux du vecteur sortant d’une unité de volume à travers une surface fermée.