Cours de statique et de dynamique

La connaissance de l’ensemble de ces caractéristiques représentant l’ensemble des actions élémentaires permettra de décrire le solide à n’importe quel instant. C’est dans cette hypothèse déterministe que nous nous placerons dans l’ensemble de ce cours.

Il est important de noter qu’une action sur un solide le mettant ou modifiant son mouvement peut être décrite par un ensemble de forces mais que la simple connaissance de la somme de ces forces (somme vectorielle) n’est pas suffisante pour en décrire le mouvement. Il est alors nécessaire de connaître une grandeur supplémentaire qu’est le moment total des forces (somme vectorielle des moments des forces) s’exerçant sur le solide. En effet une somme de forces nulle peut très bien mettre en mouvement un solide.

Pour être complet dans la connaissance d’une action il faudra donc connaître deux grandeurs :

- la somme vectorielle des forces s’exerçant sur le solide.

- la somme vectorielle des moments des forces s’exerçant sur le solide.

On retiendra donc que pour décrire le mouvement d’un solide dans l’espace, il nous faudra connaître le couple suivant [Somme des forces, Somme des moments des forces] nommé Torseur force et noté [F].

Ainsi les équations de la dynamique exprimées sur les forces et sur les moments pourront être ramenées à des équations torsorielles.

A chaque action élémentaire, on associera un torseur composé du vecteur force et de son moment.

Il est à noter que le moment permet de décrire la mise en rotation d’un solide. C’est pourquoi pour une première approche de la dynamique si on se limite à l’étude d’un point ou du centre d’inertie d’un solide l’utilisation des torseurs est inutile et la seule connaissance des vecteurs forces suffit, laissant de côté la notion de moment. Mais dans l’étude de la mécanique du point, il ne faut pas oublier que l’on perd une partie de la généralité.

2.3.1 Le torseur force

2.3.1.1 Les forces

Les forces peuvent être regroupées en trois familles :

- Les forces de champ : force de gravitation, force de Lorentz

- Les forces de contact : force de frottement,…

- Les forces nucléaires assurant la cohésion du noyau atomique.

Les forces s’expriment en Newton noté N

Le poids qui appartient à la première famille est défini par les caractéristiques suivantes :

- Point d’application : le centre d’inertie du solide

- Droite d’action : la verticale

- Sens : Vers le bas

- Valeur : P=mg avec m masse en kg du solide et g=9,81N/kg sur terre

Dans le cas des forces de contact le point d’application correspond au point de contact.

2.3.1.2 Moment de forces

Le moment total des forces est la grandeur qui va nous permettre de savoir si l’action aura pour effet la mise en rotation du solide.

Il s’exprime en un point O quelconque et pour une force ayant A comme point d’application par :

Le moment est un vecteur libre.

Il est indépendant de la position de A sur la droite d’action.

Norme du moment :

Pour des raisons de simplification, si le solide est en rotation autour d’un axe, on préférera généralement exprimer le moment par rapport à cet axe. Avec O passant par l’axe de rotation D on a :

est la projection de sur l’axe D de vecteur directeur .Le scalaireest indépendant du choix de O sur l’axe D.

Se choisir un vecteur c’est choisir un sens positif pour la rotation autour de l’axe D. Le signe du moment par rapport à l’axe est donc positif si la rotation du vecteur autour de D se fait dans le sens positif choisi.

2.3.2 Equilibre, rotation et translation

2.3.2.1 Equilibre

Tout mouvement d’un solide dans l’espace peut être décomposé en :

- un mouvement de translation et

- un mouvement de rotation.

La connaissance de la somme des forces s’exerçant sur un solide renseignera sur la modification de son mouvement de translation. Ce vecteur indiquant le sens et la direction du mouvement. L’absence de translation se traduisant par une somme de forces nulle.

La connaissance de la somme des moments des forces s’exerçant sur un solide renseignera sur la modification de son mouvement de rotation. En effet toute force ayant A comme point d’application s’appliquant sur un solide dont l’axe de rotation passe par le point O mettra ce solide en rotation autour de son axe tant que le vecteur ne sera pas colinéaire au vecteur force . La rotation s’arrêtant quand les vecteurs sont colinéaires soit le produit vectoriel nul.

Un solide ne pourra être maintenu dans son état d’équilibre que s’il n’est mis ni en translation ni en rotation.

Cela se traduit mathématiquement par :

ou plus synthétiquement par le torseur force [F] :

2.3.2.2 Couple et mouvement de rotation

Un solide dont la somme des forces est nulle mais le moment total non nul est soumis à un couple.

Un couple est une action qui met le solide uniquement en rotation.

Un solide initialement en translation et soumis à un couple restera en translation mais subira en plus un mouvement de rotation

2.3.2.3 Translation

La modification du mouvement d’un solide, soumis à un ensemble de forces non nulles mais de moment total nul, sera une translation.

Un solide initialement en rotation et soumis à une somme de force non nulle mais de moment total nul restera en rotation mais subira en plus un mouvement de translation.

2.3.3 Forces de frottement

Réaction du support et force de frottement sont généralement inclues dans une même force notée. Le torseur se décompose donc en :

: Réaction normale : Moment de résistance au pivotement

: Réaction tangentielle = force de frottement : Moment de résistance au roulement

2.3.3.1 Frottement statique

Quand le solide est immobile du fait des frottements on peut définir un facteur de frottement statique µ_S.

µ_s est défini à partir de la valeur maximale que peut prendre la composante tangentielle sans qu’il y ait de mouvement.

On a donc et donc quand le solide est immobile :

On peut aussi utiliser l’angle de frottement statique et le cône de frottement pour mieux visualiser la limite à partir de laquelle le solide va glisser.

A partir du moment où est supérieur à , le solide se met en mouvement et il faut utiliser le facteur de frottement dynamique µ_D.

2.3.3.2 Frottement dynamique

Le facteur de frottement dynamique µ_D qui comme µ_S est une grandeur tabulée qui dépend de la nature du contact, permet d’exprimer la composante tangentielle en fonction de la composante normale :

La valeur de µ_D est obligatoirement inférieure à µ_S

Exemple : Solide sur un plan incliné

Prenons un solide de poids P=100N posé sur un plan incliné d’un angle a.

Le solide est en équilibre si les deux forces et sont égales et opposées.

On suppose et .

Tant que la pente est d’angle , la réaction vaut et la force de frottement ce qui est vérifie , on dit que la réaction est dans le cône de frottement statique :

Mais dès que l’angle on a toujours mais la valeur est supérieure à donc on calcule désormais car le solide se met à glisser.

2.3.4 Résolution des problèmes de statique

2.3.4.1 Solide en équilibre sous l’action de 2 forces

Pour qu’un solide soit en équilibre sous l’action de 2 forces, il faut et il suffit que les deux forces soient égales et directement opposées.

2.3.4.2 Solide en équilibre sous l’action de 3 forces

Pour qu’un solide soit en équilibre sous l’action de 3 forces, il faut et il suffit que :

- les 3 forces soient coplanaires.

- les 3 forces soient concourantes au même point.

- chacune des forces soit opposée à la somme géométrique des 2 autres : dynamique fermé.

2.3.4.3 Solide en équilibre sous l’action de n forces

Propriété très importante :

La projection sur un plan d’un système de n forces en équilibre est un systèmes de n forces coplanaires en équilibre.

Pour les corps possédant un plan de symétrie ce plan sera toujours choisi comme plan de projection.

2.3.4.4 Méthode

Pour résoudre un problème de statique il faut procéder généralement ainsi :

- Réaliser un dessin de situation où figure le système à étudier dans son environnement extérieur sans y faire figurer de forces.

- Réaliser un dessin où ne figure que le système étudié et les forces extérieures qu’il subit.

- Faire un bilan des caractéristiques connues et inconnues des forces.

- Réaliser la construction mathématique traduisant les conditions d’équilibre : le dynamique des forces.

- Exploiter ces différentes étapes pour résoudre le problème.

L’utilisation du moment par rapport à un axe donne une équation :

Et l’utilisation de la projection de la somme vectorielle des forces sur un plan (Oxy) en fournit deux autres :

2.4 Dynamique des solides

La dynamique est la partie de la mécanique qui étudie les causes du mouvement.

2.4.1 Eléments de dynamique

Pour qui a bien compris que tout mouvement pouvait se construire à partir d’un mouvement de translation et de rotation, a compris la nécessité des torseurs. Cette entité composée de deux vecteurs traduisant le mouvement de translation et de rotation a été introduite avec les forces. C’est désormais avec les éléments cinétiques que nous allons le définir.

2.4.1.1 Le torseur cinétique

Le torseur cinétique [P] correspond aux grandeurs [quantité de mouvement, moment cinétique] décrites ci-après.

Il est important de noter que ces grandeurs dépendent du référentiel choisi.

2.4.1.1.1 Quantité de mouvement

Pour étudier le mouvement d’un solide ponctuel isolé, on pourrait se contenter de connaître sa vitesse. Mais l’étude du mouvement de deux solides en interaction ne pourra se faire que par la pondération des vitesses par une grandeur qui dépend de l’objet. Cette grandeur est appelée masse inerte (inerte : inertie : vitesse).

L’expérience montre que cette grandeur qui pondère la vitesse d’un solide est la même que celle qui pondère la force gravitationnelle des solides entre eux et nommée masse grave. On nommera donc masse sans distinction la masse grave et la masse inerte.

Aussi on va utiliser un vecteur qui correspond à la pondération de la vitesse par cette grandeur appelée masse :

est appelée quantité de mouvement.

Lorsque le solide n’est pas ponctuel il faudra utiliser la résultante cinétique :

2.4.1.1.2 Moment cinétique

Dans le cas d’un solide quelconque, il faudra en plus de la résultante cinétique du solide définir le moment total associé appelé moment cinétique résultant :

Dans le cas d’une distribution non pas discrète mais continue on calculera

2.4.1.1.3 Arrêt, rotation et translation.

Par analogie avec le torseur force où l’on avait défini les 3 cas : équilibre, couple et translation on peut écrire les 3 cas suivant :

- Le solide est à l’arrêt : et

- Le solide est en rotation : et

- Le solide est en translation : et

2.4.1.1 Le torseur dynamique

Lorsque la vitesse varie on utilise l’accélération pour décrire cette variation. De la même façon on peut définir un torseur dynamique [D] à partir de la quantité d’accélération et du moment dynamique. Et pour un solide on prendra la résultante dynamique et le moment dynamique résultant :

2.4.2 Principes fondamentaux de la dynamique

2.4.2.1 Enoncés de Newton

Première loi : Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, sauf si des forces imprimées le contraignent d’en changer.

Deuxième loi : Le changement de mouvement est proportionnel à la force imprimée et s’effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée.

Troisième loi : La réaction est toujours contraire à l’action : ou encore les actions que deux corps exercent l’un sur l’autre sont toujours égales et dirigées en sens contraire.

2.4.2.2 Enoncé mathématique du principe fondamental

Ce principe issu de la deuxième loi de Newton rend équivalent deux grandeurs fondamentalement différentes en liant le mouvement aux forces.

Dans un référentiel galiléen R, le mouvement d’un système de points matériels par rapport à un point fixe O de R vérifie l’équation torsorielle suivante :

en notant le torseur des forces extérieures dont le moment est calculé par rapport à O.

En extrayant du torseur ses deux composantes vectorielles, on obtient les deux théorèmes suivants.

2.4.2.3 Théorème de la quantité de mouvement, Théorème de la résultante cinétique

Dans le cas d’un solide ponctuel on obtient le théorème de la quantité de mouvement :

Dans le cas d’un solide non ponctuel on parle de théorème de la résultante cinétique.

2.4.2.4 Théorème du moment cinétique

Le théorème liant les moments s’exprime par :

Ce théorème peut s’avérer utile même lorsque la résultante du moment des forces est nulle car le moment cinétique est alors une constante vectorielle. Mais on l’utilisera surtout pour l’étude des solides et non pour l’étude de la dynamique du point.

2.4.3 Dynamique des particules chargées

Ce chapitre de dynamique se place d’emblé dans un cadre restreint d’étude des particules.

Celles-ci sont considérées comme ponctuelles, oubliant ainsi la possibilité d’une éventuelle rotation de la particule sur elle-même et restreignant l’étude à un problème de dynamique du point.

Leurs vitesses sont supposées très inférieures à la vitesse de la lumière pour rester dans le cadre de la mécanique newtonienne.

2.4.3.1 Forces de champ

Les particules chargées possèdent deux caractéristiques intrinsèques : leur masse m et leur charge q, et la caractéristique de mouvement : leur vitesse v.