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2 Mécanique du point et du solide
2.1 Bases repères et référentiels
2.2 Cinématique du point et du solide
2.2.4 Coordonnées intrinsèques. Composantes de Frenet.
2.2.6 Quantités, résultantes et moments.
Base :
Dans un espace à trois dimensions, on appelle base vectorielle un ensemble de 3 vecteurs linéairement indépendants :
sont non coplanaires
Repères d’espace :
L’ensemble constitué d’un point O de l’espace et de 3 vecteurs de base forme un repère d’espace.
Repère direct :
Le produit vectoriel étant anticommutatif
, il est nécessaire de définir
une « norme ». Le sens direct est obtenu avec la règle de la main
droite.
Repère de Copernic :
L’origine correspond au centre de masse du système solaire et les axes sont dirigés vers trois étoiles fixes.
Repère géocentrique :
L’origine correspond au centre de masse de la terre et les axes sont dirigés vers trois étoiles fixes.
Coordonnées :
Pour définir la position de tout point dans un repère, on constate expérimentalement, qu’il est nécessaire et suffisant de prendre trois réels appelés coordonnées.
Repère de temps
Il est constitué d’un instant d’origine et d’une échelle de temps
Référentiel
L’ensemble constitué d’un repère d’espace et d’un repère de temps est appelé référentiel.
Référentiel galiléen :
C’est un référentiel dans lequel l’espace est homogène et isotrope et le temps uniforme.
La cinématique est l’étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent.
Un point M dans un repère R est caractérisé par son vecteur position :
En coordonnées cartésiennes on note :
ou 
où indique que les coordonnées du vecteur sont celles qu’il a dans la base cartésienne.
La trajectoire étant l’ensemble des positions occupées par le point M.
L’équation de la trajectoire du point M est la relation liant les coordonnées indépendamment du temps.
En coordonnées cartésiennes on notera 
On appelle équation horaire l’expression des coordonnées du point en fonction du temps :
Si le mouvement est plan, on choisit le repère de telle sorte que deux coordonnées suffisent. Généralement on conserve les coordonnées x et y.
Si le mouvement est rectiligne, on choisit le repère de telle sorte qu’une seule coordonnée suffise. Généralement on conserve la coordonnée x.
Lorsque la trajectoire est telle que les expressions et calculs des position, vitesse et accélération sont plus simples en coordonnées cylindriques alors on les exprime dans cette base mobile.
La base cylindrique étant une base mobile dont l’orientation des vecteurs dépend de la position du point M dans sa trajectoire il n’est pas étonnant de voir que deux coordonnées seulement suffisent à exprimer la position :
ou 
La vitesse moyenne d’un point est obtenue en calculant le rapport de la distance parcourue par la durée du parcours :
Lorsque l’on veut obtenir le vecteur vitesse moyenne entre deux points M1(t1) et M2(t2)on exprime :
Si l’on veut exprimer le vecteur vitesse instantanée en un point M de la trajectoire il faut faire le calcul :
Le vecteur exprimé est celui de la vitesse du point M dans son mouvement par rapport au référentiel R. La dérivée du vecteur position se faisant par rapport à ce référentiel.
L’expression du vecteur vitesse dans son mouvement par rapport au référentiel R peut être exprimé dans toute autre base.
En coordonnées cartésiennes (base fixe) le mouvement du point M par rapport au référentiel cartésien donne le vecteur vitesse :
ou 
En coordonnées cylindriques (base mobile) le mouvement du point M par rapport au référentiel cartésien donne le vecteur vitesse :
ou 
démonstration :
On a vu que : 
donc on peut simplifier
et
car
est un
vecteur fixe
soit
On notera les points suivants :
● L’unité légale de la vitesse est le mètre par seconde m.s-1
● Le vecteur vitesse en un point est confondu à la tangente à la trajectoire en ce point.
● Le sens du vecteur vitesse est celui du mouvement.
● Comme pour tout vecteur la norme de la vitesse correspond à la racine carrée de la somme du carré des composantes de ce vecteur.
● Il ne faut pas confondre d’une part le référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement avec d’autre part la base que l’on choisit pour exprimer le plus facilement les vecteurs position, vitesse ou accélération.
● Dans le cas d’un mouvement de rotation d’axe Oz, on définit
le vecteur 
. Al’aide des coordonnées cylindriques
exprimons le produit vectoriel 
. On a 
donc 
soit la relation générale : 
● Le mouvement d’un point M par rapport à un référentiel R1 de centre O1 et par rapport à un référentiel R2 de centre O2 vérifie la loi de composition des vitesses:
où 
désigne le vecteur vitesse de rotation
du repère R2 par rapport à R1
●
De même que pour la vitesse on peut définir les vecteurs accélération moyenne et accélération instantanée.
Le vecteur accélération moyenne est obtenu entre deux vecteurs vitesses à des instants t1 et t2
Le vecteur accélération instantanée correspond à la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps
ou 
Les remarques sur la vitesse concernant la base et le référentiel sont aussi valables pour l’accélération
En coordonnées cartésiennes (base fixe) le mouvement du point M par rapport au référentiel cartésien donne le vecteur accélération :
ou 
En coordonnées cylindriques (base mobile) le mouvement du point M par rapport au référentiel cartésien donne le vecteur vitesse :
ou 
démonstration :
On a: donc et 
donc 
et
soit 
ou 
On notera les points suivants :
● L’unité légale de l’accélération est le mètre par seconde au carré m.s-2
● La direction et le sens du vecteur accélération par rapport à sa trajectoire n’est pas aisément exprimable sans l’utilisation des coordonnées intrinsèques (paragraphe suivant)
● Comme pour tout vecteur la norme de l’accélération correspond à la racine carrée de la somme du carré des composantes de ce vecteur.
●
● L’aire d’un arc de cercle d’angle q vaut 
et sa dérivée par rapport au temps qui
vaut 
s’appelle
la vitesse aréolaire. Si le mouvement est tel que l’accélération orthoradiale
est nulle alors 
et
est une
constante donc le mouvement s’effectue à vitesse aréolaire constante. Cela correspond
aux mouvements planétaires.
On peut aussi exprimer la vitesse et l’accélération à partir d’une base mobile
défini à
partir des vecteurs :
: Vecteur tangent à la trajectoire
au point M, dans le sens du mouvement
: Vecteur normal à la trajectoire
dont la droite d’action passe par le centre de courbure Ω de la
trajectoire en ce point
: Vecteur binormal défini
à partir des deux précédents par 
On appelle plan osculateur ∏, le plan 
:
Localement on confond la trajectoire avec le cercle osculateur.
On défini une abscisse curviligne s sur le cercle osculateur qui vérifie
soit encore
La vitesse s’exprime par :
et l’accélération s’en déduit :
On a déjà vu que et de même 
donc 
Mais 
n’est pas une grandeur accessible, alors
que 
l’est,
on écrit donc :
soit 
d’où l’expression :
Dans le référentiel considéré.
La trajectoire peut être :
- rectiligne : - la trajectoire est une droite,
- le rayon de courbure est infini et la composante normale de l’accélération est nulle.
- circulaire : - la trajectoire est un cercle,
- la trajectoire est donc plane,
- le rayon de courbure est constant.
- curviligne : - la trajectoire est une courbe.
- hélicoïdale : - la trajectoire est une hélice.
Le mouvement peut être :
- uniforme : - la valeur algébrique de la vitesse est constante,
- le vecteur vitesse n’est pas forcément constant,
- seule la composante tangentielle de l’accélération est nulle.
- uniformément varié : - la valeur algébrique de l’accélération tangentielle est constante.
- accéléré : - la valeur algébrique de la vitesse augmente,
- la composante tangentielle de l’accélération est dans le sens du mouvement.
- ralenti : - la valeur algébrique de la vitesse diminue,
- la composante tangentielle de l’accélération est dans le sens contraire du mouvement.
- sinusoïdal : - une composante de position dépend sinusoïdalement du temps.
Le mouvement d’un solide peut être :
- de translation : - le vecteur vitesse est identique en tout point du solide.
- de rotation : - la trajectoire de chaque point du solide est circulaire.
Par exemple la nacelle d’une grande roue a au démarrage un mouvement de translation circulaire uniformément varié
Le but est généralement d’exprimer les équations horaires du mouvement pour remonter éventuellement vers l’équation de la trajectoire.
● Lorsque la nature de la trajectoire est donnée, il faut en déduire les conditions sur les caractéristiques exprimées dans une base adaptée.
Exemple du mouvement circulaire sinusoïdal
La trajectoire est circulaire on choisit la base cylindrique.
La trajectoire est plane donc la coordonnée z est nulle
La trajectoire est un cercle donc le rayon est une constante (ce n’est pas lui qui dépend sinusoïdalement du temps)
Donc on peut déjà écrire en notant r le rayon
du cercle : 
On remarque que la base mobile choisie ne permet pas de faire apparaître le caractère sinusoïdal du mouvement
On en déduit l’expression de la vitesse :
puis l’expression de l’accélération :
Le caractère sinusoïdal apparaît dans l’expression
de j : 
où ω désigne
la pulsation et j0 l’inclinaison
initiale.
● Lorsque l’application des lois de la dynamique nous fournis les coordonnées de l’accélération, alors il faut remonter par intégration aux caractéristiques de vitesse puis de position. Les constantes d’intégration seront déterminées par les conditions initiales du mouvement.
● Pour les applications numériques, il faut penser avant tout calcul à se placer dans le système d’unités internationales (U.S.I.).
Avant de passer à l’étude des causes du mouvement qu’est la dynamique on va définir les grandeurs qui nous seront utiles par la suite.
| Point |
Système de point |
| Quantité de mouvement
|
Résultante cinétique
|
| Moment cinétique
|
Moment cinétique résultant
|
| Quantité daccélération
|
Résultante dynamique
|
| Moment dynamique
|
Moment dynamique résultant
|
On va distinguer dans l’appellation des grandeurs physiquement identiques selon
que l’on étudie un point ou un système de point.
